Residuenquadratsumme

Die Residuenquadratsumme, Quadratsumme der Residuen, oder auch Summe der Residuenquadrate, bezeichnet in der Statistik die Summe der quadrierten (Kleinste-Quadrate-)Residuen (Abweichungen zwischen Beobachtungswerten und den vorhergesagten Werten) aller Beobachtungen.[1] Da zunächst Abweichungsquadrate (hier Residuenquadrate) gebildet werden und dann über alle Beobachtungen summiert wird, stellt sie eine Abweichungsquadratsumme dar. Die Residuenquadratsumme ist ein Gütekriterium für ein lineares Modell und beschreibt die Ungenauigkeit des Modells. Sie erfasst die Streuung der Beobachtungswerte um die vorhergesagten Werte der Zielgröße, also die Streuung, die durch die Stichproben-Regressionsgerade nicht erklärt werden kann. Sie wird daher auch als die nicht erklärte Abweichungsquadratsumme (oder kurz nicht erklärte Quadratsumme) bezeichnet. Neben der Residuenquadratsumme spielt in der Statistik auch die totale Quadratsumme und die erklärte Quadratsumme eine große Rolle.

Die Summe der blauen Abweichungsquadrate ist die totale Quadratsumme und die Summe der roten Abweichungsquadrate ist die Residuenquadratsumme.

Um einen globalen F-Test durchzuführen, sind oft mittlere Abweichungsquadrate von Interesse. Dividiert man die Residuenquadratsumme durch die residualen Freiheitsgrade, erhält man das mittlere Residuenquadrat. Die Teststatistik eines globalen F-Tests ist dann gegeben durch den Quotienten aus dem „mittleren Quadrat der erklärten Abweichungen“ und dem „mittleren Residuenquadrat“.

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Über die genaue Bezeichnung und ihre Abkürzungen gibt es international keine Einigkeit. Die natürliche deutsche Abkürzung für die Residuenquadratsumme bzw. die Summe der (Abweichungs-)Quadrate der Restabweichungen (oder: „Residuen“), ist SAQRest, oder SQR. Die englische Abkürzung SSR ist vieldeutig und führt zu anhaltenden Verwechslungen: Sowohl Sum of Squared Residuals (Residuenquadratsumme) als auch Sum of Squares due to Regression (Regressionsquadratsumme) werden als SSR abgekürzt. Allerdings wird die Regressionsquadratsumme oft auch als erklärte Quadratsumme (Sum of Squares Explained) bezeichnet, deren natürliche englische Abkürzung SSE ist. Die Abkürzungsproblematik wird dadurch verschärft, dass die Residuenquadratsumme oft auch als Fehlerquadratsumme (Sum of Squares Error) bezeichnet wird, deren natürliche englische Abkürzung ebenfalls SSE ist (diese Bezeichnung ist besonders irreführend, da die Fehler und die Residuen unterschiedliche Größen sind). Des Weiteren findet sich für Residuenquadratsumme ebenfalls die englische Abkürzung RSS, statt der Abkürzung SSR, da statt der Bezeichnung Sum of Squared Residuals, oft auch die Bezeichnung Residual Sum of Squares verwendet wird. Auch diese englische Abkürzung kann mit der Regressionsquadratsumme verwechselt werden, die im Englischen auch als Regression Sum of Squares bezeichnet, deren natürliche englische Abkürzung auch hier RSS ist.[2]

Die Residuenquadratsumme ist definiert durch die Summe der Quadrate der Restabweichungen bzw. Residuen:

SQR:=SQRest:=i=1n(ε^iε^¯=0)2=i=1nε^i2=i=1n(yiy^i)2{displaystyle SQR:=SQ_{text{Rest}}:=sum _{i=1}^{n}({hat {varepsilon }}_{i}-underbrace {overline {hat {varepsilon }}} _{=0})^{2}=sum _{i=1}^{n}{hat {varepsilon }}_{i}^{2}=sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{hat {y}}_{i})^{2}}

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Die zweite Gleichheit gilt, da

ε^¯=1ni=1nε^i=0{displaystyle {overline {hat {varepsilon }}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}{hat {varepsilon }}_{i}=0}

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