Frenetsche Formeln

Die frenetschen Formeln (Frenet-Formeln), benannt nach dem französischen MathematikerJean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Sie werden auch Ableitungsgleichungen oder Frenet-Serret-Formeln genannt, letzteres nach Joseph Serret, der die Formeln vollständig angab. In diesem Artikel werden die frenetschen Formeln zunächst im dreidimensionalen Anschauungsraum

R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

vorgestellt, im Anschluss die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen.

. . . Frenetsche Formeln . . .

Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis (Einheitsvektoren, die paarweise senkrecht aufeinander stehen) aus drei Vektoren (Tangentenvektor

t{displaystyle {vec {t}}}

, Hauptnormalenvektor

n{displaystyle {vec {n}}}

und Binormalenvektor

b{displaystyle {vec {b}}}

), die das lokale Verhalten der Kurve

r(s){displaystyle {vec {r}},(s)}

beschreiben, und drücken die Ableitungen dieser Vektoren nach der Bogenlänge

s{displaystyle s}

als Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus. Dabei treten die für die Kurve charakteristischen skalaren Größen Krümmung

κ{displaystyle kappa }

und Torsion

τ{displaystyle tau }

auf.

drds=tdtds=κnt×n=b{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {r}}}{mathrm {d} s}}={vec {t}}qquad {frac {mathrm {d} {vec {t}}}{mathrm {d} s}}=kappa {vec {n}}qquad {vec {t}}times {vec {n}}={vec {b}}}

dbds=τndnds=τbκt{displaystyle {frac {mathrm {d} {vec {b}}}{mathrm {d} s}}=-tau {vec {n}}qquad {frac {mathrm {d} {vec {n}}}{mathrm {d} s}}=tau {vec {b}}-kappa {vec {t}}}

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